Hatéves korában már írt és olvasott, latinul is. Iskolás évei alatt megtanult németül, franciául, olaszul, angolul, héberül és románul. Rendkívüli fejszámoló tehetsége és zenei érzéke miatt csodagyereknek tartották. 1781-től a nagyenyedi református kollégiumban nevelkedett, 12 évesen a 8 éves Kemény Simon mentora volt Marosvécsen. 1790-től mindketten öt évet tanultak a kolozsvári református kollégiumban. 1796-tól Jénában, majd Göttingenben tanult, hol diáktársa volt a későbbi nagy német matematikus, Carl Friedrich Gauss. A vele folytatott eszmecserék hatással voltak érdeklődési körének kialakulására. 1799-ben gyalog hazatért, 1801-ben megnősült és dolmáldi birtokán gazdálkodni kezdett. 1804-től 1851-es nyugdíjazásáig a marosvásárhelyi református kollégium matematika-fizika-kémia professzora volt. Ez az állás csak sovány megélhetést hozott, ezért Farkas sok mindenbe belefogott: fordított, erdészeti tanulmányt írt, új fűtő- és főzőberendezéseket tervezett. 1832-ben a Magyar Tudós Társaság tagjának választotta, főleg szépirodalmi munkásságát értékelve. Fia, János minden idők legnagyobb magyar matematikusa lett, de nézeteltéréseik igen megkeserítették az apa életét. Főműve a Tentamen, amely tankönyv, s egyben önálló felfedezéseinek összefoglalása. Felismerései elszigeteltsége miatt nem lettek ismertek,s a köztudatban ma mások nevéhez fűződnek. A függvényfogalom meghatározásában sok neves kortársát megelőzte. Heinrich Baltzer révén vált ismertté a Bolyai-algoritmus, amely magasabbfokú egyenletek közelítő megoldására alkalmas. A pozitív tagú végtelen sorokra állította fel a ma Raabe nevét viselő konvergencia-kritériumot. Euklidész V. posztulátumának bizonyítása során csak a helyettesítő axiómákig jutott el, de az ő érdeme, hogy zseniális fiát e kérdéskör felé irányította. A Tentamen függelékeként jelent meg János Tértana. Jelentősek az aritmetika, a geometria és a halmazelmélet alapjaihoz tartozó megállapításai is, és a végszerű területegyenlőség általa adott definíciója. A francia enciklopédisták hatását tükröző drámákat írt, érdeklődött a zeneelmélet iránt, gyógyítással kísérletezett. Társadalmi kérdésekkel is foglalkozott, az utópikus szocializmus gondolatai alapján írt Úr-bér, kárpótló egyesület című fogalmazványában a jövő falujának életét képzelte el. Marosvásárhelyen hunyt el.